1 有限总体的统计量

考虑一个 CRE, 包含 ${\displaystyle n}$ 个实验单元; ${\displaystyle n_1}$ 个接受实验, ${\displaystyle n_0}$ 个作为对照. 定义潜在输出 ${\displaystyle Y_i(1),Y_i(0)}$ 和个体的 因果效应 ${\displaystyle {\tau }_i=Y_i(1)-Y_i(0)}$. 则潜在输出有有限的总体均值 $$\bar{Y}(1)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i(1),\bar{Y}(0)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i(0),$$ 以及总体方差^[1] $$S^2(1)=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n\{Y_i(1)-\bar{Y}(1){\}}^2,S^2(0)=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n\{Y_i(0)-\bar{Y}(0){\}}^2,$$
还有协方差 $$S(1,0)=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n\{Y_i(1)-\bar{Y}(1)\}\{Y_i(0)-\bar{Y}(0)\}.$$
因果效应有均值 $$\tau =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\tau }_i=\bar{Y}(1)-\bar{Y}(0)$$ 和方差 $$S^2(\tau )=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n({\tau }_i-\tau {)}^2.$$

2 Neyman 定理

回忆上一篇笔记, 我们定义样本均值 $$\hat{\bar{Y}}(1)=\frac{1}{n_1}\sum _{i=1}^n{Z}_i{Y}_i,\hat{\bar{Y}}(0)=\frac{1}{n_0}\sum _{i=1}^n(1-Z_i)Y_i$$ 和样本方差 $$\begin{array}{rl}{\hat{S}}^2(1)& =\frac{1}{n_1-1}\sum _{i=1}^n{Z}_i\{Y_i-\hat{\bar{Y}}(1){\}}^2,\\ {\hat{S}}^2(0)& =\frac{1}{n_0-1}\sum _{i=1}^n(1-Z_i)\{Y_i-\hat{\bar{Y}}(0){\}}^2.\end{array}$$
但是 ${\displaystyle S(1,0)}$, ${\displaystyle S^2(\tau )}$ 没有样本版本, 因为同一个 ${\displaystyle i}$ 我们没法同时观测到 ${\displaystyle Y_i(1)}$ 和 ${\displaystyle Y_i(0)}$.

下面的定理给出了我们的因果效应的均值 ${\displaystyle \hat{\tau }}$ 的性质.

在这里只有 ${\displaystyle Z_i}$ 是随机的, 而 ${\displaystyle Y_i(1),Y_i(0)}$ 都是固定的, 因此随机化只是从 ${\displaystyle n}$ 中选出 ${\displaystyle n_1}$ 个元素, 这总共有 ${\displaystyle M=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n_1})}$ 种可能.

回顾 FRT, 我们来对比两者的不同点

• FRT 可以用于任何检验量, 而 Neyman 定理只关于 ${\displaystyle \hat{\tau }}$
• 在下图中, 我们给出所有 ${\displaystyle M}$ 种不同的实验组分配方式 ${\displaystyle z_1,\cdots ,z^M}$, (回顾 ${\displaystyle M=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n_1})}$). 每一种我们得到输出结果向量 ${\displaystyle Y(z^m)}$. 在 FRT 的示意图中, 我们观测到的 ${\displaystyle Y}$ 是固定的, 但在这里随着 ${\displaystyle z^m}$ 改变, ${\displaystyle Y(z^m)}$ 会改变.

• FRT 示意图的 ${\displaystyle T(z^m,Y)}$ 可以基于观测值计算, 但是这里的 ${\displaystyle {\hat{\tau }}^m}$ 只是假设的值, 因为我们只能知道两个 ${\displaystyle Y(1),Y(0)}$ 中的一个.

我们下面来观察一下 (2.1). ${\displaystyle S^2(\tau )}$ 的系数为负, 这说明当 ${\displaystyle \tau }$ 的方差越大, ${\displaystyle \hat{\tau }}$ 的方差反而越小. 我们基于 (2.2) 给出一个直观的解释. 分别考虑 ${\displaystyle S(1,0)>0}$ 和 ${\displaystyle S(1,0)<0}$. 我们假设观测到相对较大的实验组的潜在输出.

• 如果 ${\displaystyle S(1,0)>0}$, 说明实验组的样本也有较大的潜在对照输出, 这样对照组样本的观测值就会变小, 因此 ${\displaystyle \hat{\tau }}$ 变大;
• 如果 ${\displaystyle S(1,0)<0}$, 说明实验组的样本有较小的潜在对照输出, 这样对照组样本的观测值就会变大, 因此 ${\displaystyle \hat{\tau }}$ 变小.

总的来说, 尽管 ${\displaystyle \hat{\tau }}$ 的无偏性不依赖于 ${\displaystyle S(1,0)}$, 我们依然在 ${\displaystyle S(1,0)>0}$ 时更有可能观测到更极端的 ${\displaystyle \hat{\tau }}$.

关于 ${\displaystyle \hat{\tau }}$ 我们有进一步的渐近性质.

3 CRE 的回归分析

实际中我们会用基于回归的推断方法来得到 ${\displaystyle \tau }$. 我们可以运行 OLS: $$(\hat{\alpha },\hat{\beta })=\arg \underset{(a,b)}{min}\sum _{i=1}^n(Y_i-a-b{Z}_i{)}^2,$$ 然后把 ${\displaystyle \hat{\beta }}$ 作为 ${\displaystyle \tau }$. 我们可以证明 ${\displaystyle \hat{\beta }=\hat{\tau }}$.
但是, 它的方差 $$\begin{array}{rl}{\hat{V}}_{\mathrm{OLS}}& =\frac{n(n_1-1)}{(n-2)n_1{n}_0}{\hat{S}}^2(1)+\frac{n(n_0-1)}{(n-2)n_1{n}_0}{\hat{S}}^2(0)\\ & \approx \frac{{\hat{S}}^2(1)}{n_0}+\frac{{\hat{S}}^2(0)}{n_1},\end{array}$$ 即使用了近似也与 ${\displaystyle \hat{V}}$ 不同. 不过, EHW 的方差值相近: $${\hat{V}}_{\mathrm{EHW}}=\frac{n_1-1}{n_1^2}{\hat{S}}^2(1)+\frac{n_0-1}{n_0^2}{\hat{S}}^2(0)\approx \frac{{\hat{S}}^2(1)}{n_1}+\frac{{\hat{S}}^2(0)}{n_0}.$$